Numeri e dati

Capito tu vuoi che io dimostri di poter unire cipolle con pere.
La relazione biunivoca, è una relazione tra A e B nonché tra B e A. Non che tutto A è in relazione con B.
3 dei naturali ovviamente non è in relazione coi pari. Tra tutti i pari naturali hanno un corrispondente nell’insieme dei pari, mentre tutti gli elementi dell’insieme dei pari ha una corrispondenza con un elemento dei naturali. Questa bidirezione significa che gli insiemi sono biunivoci.
Ma il fatto che non ci sia una corrispondenza tra 3 e l’insieme dei pari non inficia l’esistenza di altri tipi di corrispondenza.
Per questo non si mischiano patate e carote.

Si può trovare la corrispondenza tra 3 e l’insieme dei dispari, se vuoi.
I pari, come i dispari, sono un sotto insieme, anche esso infinito e per definizione di Cantor, di cui puoi leggere le dimostrazioni complete, dello stesso ordine di grandezza.
Non uguali, ma dello stesso ordine.

due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti o anche “equinumerosi” se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se a ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa

E questo persino per me è lapalissiano. Ma da questo è poi stato fatto discendere che l’infinito dei numeri pari, ancorché meno denso dell’infinito dei numeri naturali, è esteso tanto quanto quello.

Se però si cosidera l’infinito dei numeri naturali e quello dei numeri reali, allora si dice che sono infiniti diversi, perché quello dei numeri reali è più denso. Bene, però sono estesi allo stesso modo, giusto? Perché se mi dici di no, che quelli sono diversi, riparto a chiederti spiegazioni sui pari e tutti i naturali.

Questo termine non si usa in questa branca di matematica, quindi ti sei infilato su terreno pericoloso. Si parla di enumerabilità ad esempio, ma non di estensione. Ti posso dire che sono tutti e due infiniti , ti basta?

Per la cardinalità ci sono un tot di condizioni, io te ne ho messa una.

La non numerabilità dei reali non è intuitiva senza perdere in rigore.
Perché i reali sono densi mentre i razionali non lo sono, anche se tra due reali qualunque ci sono infiniti razionali e tra due razionali qualunque ci sono infiniti reali.
Il punto è che i razionali sono numerabili, i reali no.
La non numerabilità dei reali si dimostra per assurdo (teorema di Cantor) mettendoli in fila nell’intervallo [0,1), e dimostrando che si può costruire un numero reale prendendo le cifre di ciascun numero in ordine (prima cifra dal primo numero, seconda cifra dal secondo, terzo cifra dal terzo e così via) e dimostrando che da questo numero se ne può costruire un altro, che ha tutte le cifre del precedente aumentate di uno. Tale numero però non può essere presente nella lista.
Ovvero. Costruiamo questa lista arbitraria. Ogni numero r_k alla posizione k nella lista è costituito dalle cifre 0. r^k_1 r^k_2 r^k_3... ne risulta una sorta di matrice quadrata.
Il nuovo numero R* ha le cifre prese dalla diagonale:

R* = 0. r^1_1 r^2_2 r^3_3 ...

Il nuovo numero C* si costruisce da R* aumentando ogni cifra di R* di uno. Questo numero non è nella lista perché se fosse nella lista nella posizione k avrebbe come k-esima cifra r^k_k ma per costruzione essa è r^k_k+1 .

Spero di essere stato chiaro (difficile da telefono). Nel caso c’è questa spiegazione.

No, un insieme infinito numerabile non è denso.
La cardinalità di in sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è anch’essa numerabile, Ancor più che i pari hanno la corrispondenza biunivoca con \mathbb{N} : f(n) = 2n . Quindi hanno la stessa cardinalità.

La cardinalità di un insieme infinito numerabile è definita con il numero transfinito \aleph_0 .

Ti odio, sai?

Allora

ci stanno

2,4,6…
e
1,2,3,4,5,6…

il secondo insieme è più denso del primo, nel senso che contiene numeri che il primo non ha, anche se puoi truccare dire:

“Vabbè ma fai posizione uno, due, tre… del primo e avrai posizione uno, due , tre anche nel secondo…”

Questo è il trucco grazie al quale anche un babbano arriva a dire che, all’infinito, hai tutte le posizioni.
Non funzina coi reali perché - appunto - non c’è limite ai nuovi numeri che puoi ottenere allinterno di un qualunque intervallo. Per cui, appunto, puoi partire dal numero che ti pare e non riesci a mettere quello in seconda posizione, perché ogni volta ne puooi mettere uno in mezzo. Hai infiniti numeri (che sembrano fatti di materia oscura, che ti si quantizza nel mezzo) che possono scombinare qualsiasi ordinamento.

Resta che, per quanti numeri tu possa creare nel mezzo, l’infinito dei numeri naturali (come pure quello dei soli numeri naturali pari) rimane infinito, anche se tu non puoi ordinare quello reale.
Più denso il secondo e non denso il primo? Ci sta. Resta il primo non finisce mai, dunque non è “meno infinito” del secondo. Esattamente come l’insieme dei numeri pari non è “meno infinito” degli stessi numeri pari e anche dei dispari oresi insieme. Cavoli tuoi se nn riesci a ordinare i reali.

(E comunque, i numeri irreali sono illegali, sappilo).

ps
Va che lo so che c’hai matematicamente ragione,eh?

I’m matematica denso vuol dire tutt’altro.
No, non ha più numeri. Il punto contro intuitivo è che sono infiniti uguali
Vai a riprendere il paradosso dell’hotel infinito di Hilbert. Lì è tutto pieno, ma se arriva un numero infinito di nuovi clienti puoi assegnare un numero infinito di nuove camere libere. Semplicemente perché tutti si spostano nella camera con il numero doppio.
Stessa cosa.
Il punto è che non conta l’ordinamento, il fatto che il 4 è solo il secondo pari. Funziona anche con qualunque sottoinsieme infinito. Prendi i numeri primi, che sono molti la molti di meno, tanto che ad un certo punto sono difficilissimi da trovare. Ma sono infiniti, quindi hanno la stessa cardinalità dei numeri naturali.
La puoi vedere anche in un modo diverso. Prendi un qualunque numero naturale. Prendilo grande, grandissimo.
Bene, esso è in relazione con un elemento del sottoinsieme, che sia pari o primo. Sarà un numero molto più grande, smodatamente grande.

Intuitivamente è così ma non è quello il motivo. Anche i razionali hanno questa proprietà, ma sono numerabili. Prendi due razionali, nella retta dei numeri troverai infiniti altri razionali, e reali.
Si usa dire che i reali riempiono i buchi, ma è un concetto non corretto per il motivo detto.

Eh, no, non è una questione di ordinamento perché i reali sono ordinati (prendine due a caso e dai sempre dire se uno è maggiore dell’altro).
È questione se riesci a contarli. per contarli devi metterli in relazione biunivoca con i naturali.

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okay, ha lo stesso numero (infinito) di numeri anche se in uno dei due insiemi ci sono (pure) numeri che nell’altro non ci sono

Mamma che pignolo! (e sì, biosgna essere pignoli, lo so)

edit

e questo però non si applicherebbe anche al confronto tra infiniti numeri natrali e infiniti numeri reali, perché te non stai buono di cardinarli a dovere, eqquindi decidi che i reali sono curvy[1].


  1. che “denso” fa “grasso” e pertanto politically uncorrect ↩︎

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