Psst, nel primo post della prima sezione di introduzione al forum abbiamo messo tutte le istruzioni.
Lo so che c’è, esauriente pure…
Ma cercarla, leggerla…FAAAATIIIIIIIICAAAAAA…
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E’ per quello che a @P7 ho messo le istruzioni online nella nota - perché lo so che state tutti pigri.
E invece io ero andato già a leggermelo. 
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Vabbè, ma una rondine pisettina non fa primavera tobanante.
Ho dimenticato di specificare evidentemente n \ge 5.
La spiegazione (più o meno) rigorosa è questa: dalle medie sappiamo che
(n+2)^2=n^2+4 n +4
Ma sappiamo che in base n, ogni cifra in posizione i (partendo da zero e da destra) è il coefficiente del relativo sviluppo.
Quindi nello sviluppo di cui sopra sono appunto, 1, 4, 4.
Semplice, ma notevole.
PS: non sono cose mie, le trovo qui e lì e le trovo simpatiche.
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È un modo un po’ subdolo di dire che n + 2 base 10 è 12 in base n, il che è una ovvietà
Sono di più i numeri naturali o le frazioni?
Te fai poco il furbo e paga lo stipendio intero…
che poi - tanto per dire - un ottavo di infinito, quanto fa? E possiamo sommare tre o quattro infiniti insieme?
(E senza nemmeno ricordare cosa sia la cardinalità, eh? O era un’altra cosa?)
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Troppo facile, babbano.
Gli infiniti non sono tutti uguali.
Vabbè, dimmi quanto fa infinito diviso due, che vorrei sapere se sono di più i numeri pari interi o tutti i numeri interi, pari e dispari
Aspetta, ho trovato qualcuno che sembra darmi ragione.
Allora visto che il babbano vuole fare il simpatico, spiego.
Primo: infinito non è un numero. Non si può dividere o sommare. Quindi “infinito meno uno” non ha senso, gli sciocchini e chi non ha studiato ci prova, ma il rimando che si può fare è sempre quello al “Gran Hotel di Hilbert”, il quale ha sempre posto anche quando è pieno. Se arriva una persona, basta chiedere a tutti di spostarsi nella camera successiva, la camera numero uno si libera ed è tutto a posto. Idem se arrivano infinite persone, o un numero infinito di pullman infiniti.
Messo a posto il babbano (che pubblicherà sicuramente un video per spiegarmi che avevo ragione, grazie babbano, non guardo video), torniamo alla domanda, semplice semplice, se siano di più i numeri interi o le frazioni.
La domanda è paradossale, perché apparentemente la risposta sembra ovvia: le frazioni hanno un numero naturale a numeratore, un numero naturale a denominatore , quindi sembrerebbero il doppio.
Beh, no. Come detto nell’hotel di Hilbert c’è posto anche se è pieno e arrivano infiniti nuovi clienti: basta chiedere a tutti di spostarsi nella camera col numero doppio di quella attuale, il tizio alla 1 andrà alla 2, il tizio alla 2 andrà alla 4, quello alla 3 alla 6, quello alla 4 alla 8, e così via. Si libera quindi la 1, la 3, la 5, e così via, dato che i dispari sono infiniti, i nuovi clienti saranno contenti.
Con le frazioni, è una questione invece di contare.
Mettiamo tutte le frazioni in una tabella, numeratore in riga e denominatore in colonna.
| 1/1 | 1/2 | 1/3 | … |
| 2/1 | 2/2 | 2/3 | … |
| 3/1 | 3/2 | 3/3 | … |
| … | … | … | … |
Ora basta contare per diagonali:
1/1 , 2/1 , 1/2, 3/1, 2/2, 1/3 , …
Si mettono in relazione ai naturali:
1, 2, 3, 4, …
Insomma, frazioni e interi sono dello stesso numero (o se vuoi, sono infiniti numerabili), e hanno la stessa cardinalità.
Esistono però infiniti non numerabili, ad esempio i numeri reali: non si può mettere in fila in alcun modo, nonostante essi abbiano una relazione di ordinamento. Il problema è trovare un successivo in un qualche ordinamento, cosa che si può, come abbiamo visto, con i razionali ma non con i reali.
Insomma: i reali sono molti di più dei razionali (l’insieme si dice denso infatti) nonostante l’infinito sia di per sé un concetto piuttosto elastico.
E io che ho detto? E senza nemmeno parlare di cardinalità.
Poi hai barato: la domanda era "sono di più i numeri naturali o le frazioni?“ (e la risposta è “sono uguali”). Siccome non ci siamo cascati, per restare al potere hai tirato fuori i numeri reali, il che è giocare sporco. Ma il Jabba ha pronto un esercito per la sua rivoluzione! Abbasso il tiranno alfanunerico!
Aggiungo: il fatto che un infinito possa essere più denso di un altro, non riduce l’infinito meno denso. Se numeri gli elementi dell’uno e dell’altro, vai avanti all’infinito in entrambi i casi. Dunque no, non ci sono più numeri reali che naturali, anche se esistono singoli numeri reali che sono infiniti, o numeri reali che non esistono nell’insieme dei numeri naturali: comunque, se ti metti a contarli, non arrivi in fondo, anche se ti sembra di andare più piano con quelli reali (perché hai una scala con gradini più densi, ma, significa solo che passi a numeri naturali più grandi prima, non che esaurisci l’infinito naturale).
E paga lo stipendio, sfruttatore!
Aspetta: l’infinito reale non è contabile, vero? 
JABBAH, HC NON CI PAGA!!
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Beh, no. I reali sono di un ordine di infinito superiore rispetto ai razionali. I primi si indicano con il simbolo \aleph_1 mentre i secondi con \aleph_0 , e risulta \aleph_0 < \aleph_1 .
Essi sono detti numeri transfiniti.
Ah, grazie del link, che mi ha portato a trovare questo signor Cantor
Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884).[4] Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme 𝐴, esiste l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di 𝐴, chiamato l’insieme potenza di 𝐴. Poi dimostrò che l’insieme potenza di un insieme infinito 𝐴 ha una grandezza maggiore della grandezza di 𝐴 stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Cantor). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell’alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice ℵ0 (Alef zero); per gli ordinali utilizzò la lettera dell’alfabeto greco omega.
L’innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza.
Cioè, non solo quindi Cantor - andando contro la tradizione Aristotelica, secondo cui l’infinito era definito solo come potenziale - ha concepito l’infinito attuale come un ente misurabile e degno di valore scientifico, ma ha mostrato e dimostrato tramite quello che oggi viene chiamato il metodo della diagonalizzazione, che esistono diversi tipi di infinito. L’insieme dei numeri reali, per esempio, ha una grandezza (una cardinalità) maggiore dell’insieme dei numeri naturali, mentre l’insieme dei numeri pari ha la stessa “grandezza” dei numeri naturali, cioè (contro intuitivamente) una parte è uguale all’intero perché è possibile trovare una corrispondenza biunivoca (una biiezione) tra i due insiemi[1].
Oggi i numeri transfiniti sono accettati dalla maggior parte dei matematici.
Dunque qualcuno si oppone. Forse non sono l’unico a non capire come possa un infinito, ancorché più denso, a essere “più grande” di un altro infinito. Sicuramente in modo locale, cioè se ne tagli una sezione, trovi più numeri che in analoga sezione dell’altro. Però questo sarebbe vero anche per i due infiniti dei numeri naturali e dei soli numeri pari tra i naturali che invece, ohibò, son grandi uguali, come infiniti - eppure anche il secondo è meno denso, quindi? Eh ma quelli sono contabili, sono a gradini definiti e pertato è così. Invece i reali no e anzi, tra due numeri reali ce ne puoi far entrare quanti te ne pare. Quindi questo è un insieme più grande. Mah. Non mi stupisce che abbia incontrato resistenze.
ma partiamo da una cosa facile: nell’universo dei numeri pari, quale ha una relazione biunivoca col numero 3? ↩︎
Non ho capito la domanda, oppure se l’ho capita, è 42
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Questa è una deinfizione un po’ traballante di cardinalità, ma non è il metodo di diagonalizzazione che ha usato Cantor per la dfimostrazione, quindi questa affermazione aiuta a comprendere, ma manca tutta la aprte della dimostrazione, che pur esiste.
Bene.
Il 3 è in relazione diagonal-biunivoca con che numero, dell’infinito dei numeri pari?
Non ha senso quello che chiedi.
Un 3 è un numero naturale.
Qui si parla di numerabilità di insiemi infiniti.
Un insieme infinito si definisce numerabile se può essere messo in relazione biunivoca con i numeri naturali.
\mathbb{Q} è numerabile perché può essere messo in relazione biunivoca con \mathbb{N} con il metodo indicato sopra.
\mathbb{R} non è numerabile, ma si dimostra per assurdo creando una sequenza arbitraria e dimostrando che è possibile creare un nuovo numero prendendo le cifre dei numeri messi in sequenza che non è nell’elenco così costruito.
Il 3 fa parte dei numeri naturali.
I numeri narurali sono un insieme infinito
L’Insieme dei numeri naturali pari è un insieme infinito
Si è detto che l’insieme dei numeri pari ha una relazione biunivoca con l’insieme dei numeri naturali e per questo, e non per il fatto che è comunque un insieme infinito, i due insiemi, dei numeri pari e dei numeri naturali, sono “grandi allo stesso modo”.
E allora, se l’insieme dei pari è pari allvinsieme dei pari e dei dispari per questo motivo, lo deve essere anche a rovescio: l’infinito dei numeri naturali deve essere dimostrato ugualmente grande rispetto a quello dei numeri pari.
Però voglio che me lo dimostri iniziando dal numero 3, così forse capisci perché certe cose faccio proprio fatica ad assimilarle.
Ah, aspetta, non puoi. Perché il 3 nei soli pari non c’è, salvo scomposizioni (non biunivoche?). Che poi, se inizi a cazzeggiare di calcoli per far quadrare i conti, finisce che trovi qualcuno (non un babbano, magari un Cantor nel 2050) che te li fa anche per gli imsiemi reali, e c’è caso ti crolli tutta la baracca degli infiniti più infiniti degli altri…