In una galassia lontana, 1+2+3+4+...=-1/12

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Il tuo video è molto interessante. Però ti sottolineo un paio di passaggi.

Attenzione al minuti 5.26: cito: “Questa cosa NON HA SENSO presentata IN QUESTO MODO”.

E sono d’accordo, le operazioni di somma tra serie divergenti, tipo:

S_1=1-1+1-1+1-1+...= {1 \over 2 }

Non ha senso , nessuno ti autorizza ad affermare che converge alla media. Semplicemente NON E’ definita, punto. Non converge. Pertanto non ha neanche senso

S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ...

né tutte le operazioni che portano a calcolare 2 S_2 = S_1 da cui S_2= {1 \over 4} e così via.

“In particular, these identities […] 1+2+3+4+...= -{1 \over 12} are false!”

(Minuto 5.35)

Attenzione, il punto sta tutto qui: non sto sostenendo che \sum_{i=1}^\infty i = 1+2+3+...=-{1 \over 12} ma che in un altro pianeta, in cui tale somma è possibile - il pianeta della somma generalizzata di Cesàro - tale risultato ha senso . E non solo, è pure consistente con le \zeta di Riemann e con la teoria delle stringhe!

Spero di aver chiarito :slight_smile:

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E porca paletta, all’ultimo minuto mi tira fuori {x(x+1)} \over 2 e \int_{-1}^0 {{x(x+1)} \over 2} dx = -{1 \over 12}. “Definitely it’s not a coincidence!”. E finisce.

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Continuo su questo tema perché non solo è affascinante, ma ci sono un mucchio di argomenti sulla questione delle estensioni.

Alle elementari abbiamo imparato che la moltiplicazione è la ripetizione di una somma, giusto? Tipo:

4 \times 3 = 4 + 4 + 4= 12

Banale, no? Ebbene:

4 \times 3.5 = ?

E che dire di

4 \times (2+i) = ?!?

Nel campo dei reali e dei complessi ovviamente non si tratta di moltiplicazione ripetuta.

Vedi quindi che in certi ambiti, le operazioni “come noi le conosciamo” sono diverse.

In un interessante video sul prolungamento analitico della \zeta di Riemann, viene spiegato proprio questo.

La funzione

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n^s}, s \in Re(\mathbb{C}) \gt 1

è una funzione complessa di variabile complessa che è definita per i valori complessi nel semipiano dei reali > 1. Non è definita nel resto perché, evidentemente, con quella definizione lì la serie non converge.

La funzione è analitica, ovvero la sua derivata è definita per ogni suo punto del dominio. Un teorema stabilisce che può esistere un solo prolungamento analitico di una funzione analitica definita in un dominio connesso. Pertanto, se un prolungamento analitico di \zeta(s) esiste (ed esiste), esso è unico.

Si è dimostrato che

\zeta(-1) = -{1 \over 12}

Indovina un po’ come si esprime quella serie se sostituisco s=-1 ? Esatto. Formalmente

\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^{-1}} = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

Da qui il sospetto che ci sia un collegamento tra la Zeta di Riemann e la somma generalizzata.

Affascinante, curioso, sconvolgente.

Disclaimer: sono perfettamente d’accordo che sommando numeri positivi non posso ottenere numeri negativi. Ma il collegamento è davvero molto profondo e tutt’altro che semplice forzatura delle regole.

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beh, 3,5+3,5+3,5+3,5=14. Dov’è il problema? Si somma 4 volte il numero a destra.

Ma alle elementari.
Alle medie puoi anche sommare 3 volte il 4 e una volta il 4/2.
Adesso invece faccio 4x5=20 ->2 + 4x3=12->12+2=14. Ma solo perché al liceo dovevo farlo più in fretta.
Non sono sicuro di aver capito il punto: vuoi dire che, dovendo vare una serie di somme, puoi fare dei calcoli per accorciare la cosa? Sì, ma non calcoli ad minchiam, però: devi sommare tutti i numeri, quindi se inizi a fare altre cose, devi arrivare allo stesso risultato - quindi, siccome in realtà non puoi , quello che fai è di fare alcuni passaggi e poi lasciarne fuori un sacco e una sporta (un intero infinito, direi). Quindi stai barando.
Un risultato credibile sarebbe stato =-1/12 00 (il numero che vuoi, anche meno un dodicesimo, moltiplicato per infinito). Sbagliato lo stesso, c’è almeno un dodicesimo in meno al numero vero, che però non c’è, quindi amen.

Ora io ho giocato con i, ed ero anche bravino. Però ho sempre pensato che non fosse diverso dal greco antico: un esercizio per la mente, di cui non vedevo l’applicazione pratica se non nel tentare di bocciare qualcuno a scuola.

Però te la dico: l’esempio vincente tuo è questo

So che è corretto, anche se non so (più) a cosa possa servire. Se mi dici “a fare un reattore nucleare”, ci resto male.

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Minimo a tutte le trasmissioni radio, tra cui quelle dei cellulari.
Si usano per calcolare i punti delle costellazioni di simboli da trasmettere.

Cmq il punto è che esistono vari modi per interpretare i soliti simboli. A volte + (o * che è la.moltiplicazione) può essere l’operazione che conosciamo dalle elementari ma potrebbe essere una operazione parente diretta che ha proprietà più estese (anche ridotte se per questo)

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Beh,

(inizio pippone niente affatto semplice)

sono usati in elettronica per il calcolo simbolico del comportamento in regime stazionario dei componenti reattivi (Condensatori e Induttori). Utilizzando la trasformata di Laplace per le funzioni che descrivono il comportamento ideale di tali componenti, la soluzione delle grandezze, descritte attraverso equazioni differenziali lineari, diventano semplici sistemi di equazioni lineari del tipo V(\omega t)=Z I(\omega t) e le relative soluzioni semplici costanti invece che complesse funzioni in seno e coseno.
Per non parlare dei sistemi dinamici; l’equazione di un pendolo, di un sistema massa-molla-smorzatore, un sistema lineare multistadio retroazionato. Preso un sistema lineare che si vuole controllare, anziché risolvere le equazioni differenziali ci si porta nel campo della trasformata di Laplace (di nuovo!), e si progetta il sistema di controllo semplicemente allocando POLI e ZERI funzione a catena chiusa.

Se A(s) descrive il sistema da controllare, il sistema complessivo con il sistema di controllo R(s) è descritto dalla funzione A(s) \over {1 + R(s) A(S)}, ed è sufficiente decidere dove allocare i poli - ovvero i valori di s per cui la funzione complessiva diverge - per ottenere l’effetto desiderato, in particolare ponendoli nel semipiano negativo del piano complesso, otterrai un sistema stabile, ossia controllato. Di più, la posizione dei poli determina le caratteristiche dinamiche del sistema, cioè frequenza di oscillazione e tipo di smorzamento.
Funziona da Dio.

E quindi, sì, tutti i controllori PID, anche per i sistemi di controllo di valvole, motori, eccetera, anche nelle centrali nucleari.

Mica poco.

(fine pippone)

Il punto è che i numeri “oltre” i razionali positivi sono comodissimi “modelli” di concetti inesistenti in natura - perché quattro pecore le vedi, mezza torta anche, ma già un debito di quattro pecore è complicato, figurarsi cose come e e \pi. Con i complessi siamo oltre (i^2=-1 ?), poi ci sono i numeri transfiniti che definiscono gli ordini degli infiniti… quanti sono i naturali? \aleph_0. Ma sono di più i numeri naturali o i razionali (frazioni)? e se ti dicessi che hanno sono lo stesso numero? e gli irrazionali? No, gli irrazionali sono molti, molti, molti, molti di più (si dice che “hanno la potenza del continuo”).
Io semplicemente impazzisco per questi concetti.

(fine divagazione)

Dicevo, sono tutti utili modelli, servono a qualcosa.

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E vabbè, meno male che non costruisco motori o cellulari, sennò sai che macello avrei fatto.

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Mi hai convinto, appena mi passa il mal di testa apro un thread sull’ordine degli infiniti.

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Prima però per penitenza tutti a guardare Proof, il film con Anthony Hopkins e la Paltrow. Così imparate cosa può succedere a chi esagera. :stuck_out_tongue_winking_eye:

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L’avevo citato a graaaandi linee anche io, ma mica avevo voglia né ricordo tutti i dettagli :sob:

Ma tut ti ricordi tutto questo a memoria?

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Nooo che a memoria? Purtroppo mi occupo pochissimo di elettronica negli ultimi anni, e l’ultimo dimensionamento di un filtro opamp risale a … boh? Poi semplicemente usi direttamente gli operatori complessi.

Devo dire, mi ricordo abbastanza ma recuperare i dettagli è un po’ faticoso. Poi c’è da dire che la matematica è una passione, e ci sono concetti che hanno un fascino innegabile.

Prossimamente: l’hotel infinito di Hilbert.

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Ah essendo adesso a casa dei miei, ho ricontrollato Matematica Dilettevole e Curiosa (che si occupa di strani indovinelli, geometria e quadrati magici per lo più, ma anche paradossi) non parta delle serie.
E un libro di mio fratello sulla storia della matematica non cita il nostro indiano. Peccato

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Ma anche a chi non esagera. Tanto vale seguire la passione. Poi Fedemone si terrà il disegno davanti per tre mesi, vuoi mettere?

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