okay, mi arrendo.
Però “meno un dodicesimo” non lo compro: è un numero finito, dunque non vale, esattamente come 42. Poi se becco questo Cesàro per strada, gli faccio lo sgambetto.
Mi dite qualcosa dei numeri dell’ISTAT? Quelli dovrebbero essere normali, ma i conti tornano anche meno.
Invece quella spiegazione con l’integrale, non si capisce davvero come la tirino fuori. Non mi convince proprio per nulla (ma magari non ho colto la correlazione tra la sequenza dei naturali e la {1 \over 2} x (x+1) . Cioè, è la media di x^2 e x ma il nesso mi sfugge.
Prendi la sequenza delle medie delle somme parziali, poi ne ripeti tale applicazione infinite volte (se ho ben capito), e otterrai una sequenza il cui limite è -{ 1 \over 12}.
Non è una somma del nostro mondo, perché le somme parziali divergono (e pure anche velocemente). E’ appunto una somma speciale, che però dove si la somma normale converge, ha lo stesso valore.
Niente, è fuori dalla mia portata: lo prendo per buon e basta. Al primo che mi chiede quanto vale infinito, gli dico “-1/12. Chiuuuupaaaah!” e la chiudo lì.
Puoi rigiragli la domanda. Quale infinito? Tipo \aleph_0 o un transfinito di ordine superiore?
Dai dai dai apriamo un bel thread sugli infiniti numerabili e non numerabili!!!
Uh? Non lo sapevi? È una storia che risale a Gauss quando aveva 6 anni circa, a scuola per fare star buona la.classe il maestro disse: bambini, fate la.somma dei primi 100 numeri!
Cosa che occupa parecchio tempo tempo e Gauss arriva dopo 5 minuti. Infatti ha notato che: 1 + 99 =100, 2 + 98 = 100 e così via (il 50 e il 100 sono fuori e va no tenuti conto separatamente). Quindi ha capito come generalizzare la somma di x numeri, appunto x/2(x+1). Da qui la funzione e quindi l’integrale.
Penso che il maestro si sia rimesso dopo esser stato sconfitto intellettualmente da un seienne
Si, ora che la guardo dopo ore di sonno la vedo, ma il nesso con la parte negativa, con la sua estensione ai reali e con l’integrale mi sfugge. Cioè ok che c’è la coincidenza sospetta del valore dell’integrale, però… Boh.
Ecco, è una coincidenza molto particolare, che in effetti non viene spiegata (senza contare che la sommatoria è discreta e l’integrale invece è continuo) ma un tipo di relazione penso ci sia - anche se non la so su due piedi…
Probabilmente c’è e magari è già stata spiegata. Il passaggio dal discreto al continuo non è poi strano - altra estensione - e anche qui, magari c’è una razio sotto.
Certo che c’è: 42 non piaceva.
Il calcolo dell’integrale me lo ricordo almeno puntualmente, ma dovrei ripassare per gli estremi all’infinito, ma se l’integrale fosse non dei solo degli X positivi ma su tutto l’asse, “l’infinito” positivo e quello negativo si elidono a vicenda (non ricordo se sia possibile in realtà…sono passati 20 anni) e rimane solo l’area tra -1 e 0, appunto -1/12.
Ma la sto sparando
Ma allora torniamo al solito, \infty - \infty non è rappresentabile a meno di non usare la somma di Cesàro, ma siamo punto e a capo.
Interessante questo articolo vecchiotto:
Sottolineiamo la chiosa finale:
Il trucco è che, contrariamente a quello che ci fanno credere a scuola, la matematica non è per nulla monolitica. Sul quadrante di un orologio non è affatto vero che 10+5=15, perché il risultato è 3. Lo stesso qua: se ci interessa sommare numeri interi ci limitiamo ai numeri interi e non andiamo a impelagarci con i numeri complessi. Occorre sempre capire quando possiamo avventurarci fuori dal nostro orticello e quando no.
Questo non significa che -{1 \over 12} sia sbagliato, significa che non è la somma “classica” ma la sua estensione. Non invalida il ragionamento, ti fa notare che è un concetto più ampio.
Ah-ehm
Occhio con l’orologio, perché 10+5 fa veramente 15 nel formato a 24 ore, eh?
Comunque, io sostengo questo: se prendi tutti i numeri, compresi i negativi, allora puoi ottenere anche un numero negativo fermandoti dove ti pare.
Se prendi solo l’infinito dei numeri positivi, fermati dove vuoi, il numero sarà comunque positivo.
Se col secondo caso ottieni qualcosa di diverso, da qualche parte hai barato, tipo applicando una formula fuori dal suo ambito.
Tutto questo perché sono discalculico e analfabeta di ritorno, ovvio, dunque al 98% sbaglio io, che per sopravvivere ho dovuto per forza usare euristiche più che prone agli errori.
Oppure voi, fidandovi che le regole della matematica non abbiano ambiti di competenza e che quindi, incrementando somme positive, si possa arrivare a risultati inferiori ai numeri sommati.
Cioè, poi voi fate come vi pare, eh? Valgo meno di zero in questo campo e lo so. Io però resto con le mie euristiche, non per farvi dispetto, ma per sopravvivere.
Appunto. Hai centrato il punto. Entrambi i risultati sono giusti, ma in contesti diversi.
Tu ti ostini a sommare cose che non si possono sommare, 1+2+3+… non fa “infinito” perché non esiste un numero chiamato “infinito”. Esiste un simbolo \infty ma che non è un numero, ma un limite.
Avevano lo stesso problema i greci con la radice quadrata e soprattutto con \pi.
Okay. Te fatti sotto, io preparo gli specchi ustori.
Esiste un concetto di + e di - coi limiti?
In che senso? spiegati meglio perché non ho capito la domanda. “+” inteso come somma o “+” inteso come positivo?
La seconda: insiemi infiniti positivi e insiemi infiniti negativi. Esiste?
Tipo: dato un punto zero, andare all’infinito a sinistra (-) o a destra (+).
Ove questa cosa esistesse, se sai che a destra hai solo positivi, come puoi trovarci dei negativi se non con trasformazioni tue che fanno sì che l’insieme non sia più quello ma contenga anche dei valori negativi?
Ma le trasformazioni che hai fatto, ancorché valide matematicamente, hanno (appunto) trasformato l’insieme introducendo qualcosa che in esso non esisteva (che esisteva nell’altro universo o nell’altro infinito). Dunque quello che hai fatto è mischiare le cose per estrarre da uno dei due valori dell’altro.
La prima cosa che farei io è interrogarmi sulla validità delle trasformazioni fatte, ovvero la loro applicabilità a quell’insieme, dal momento che inseriscono in esso valori che esso non poteva contenere: è lo stesso infinito di prima o gli hai messo qualcosa che non gli apparteneva applicando una regola inadeguata al caso?
Ancora, no.
Ti faccio un po’ di esempi più terra terra.
La sottrazione nei numeri naturali \mathbb{N} è sempre possibile? O la divisione?
Per renderla possibile si è estesa l’operazione a \mathbb{Z} e poi a \mathbb{Q}.
Le vecchie operazioni continuano a valere per \mathbb{N}, ma negli altri insiemi, è altro.
E che dire di \mathbb{C}? Vuoi dirmi che i^2=-1 non è già sconvolgente? Come cavolo fa il prodotto di due numeri a dare un numero negativo, se sappiamo tutti che “meno per meno fa più”?
Eppure funziona.