In una galassia lontana, 1+2+3+4+...=-1/12

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Prendete tutti i numeri naturali e sommateli. Cosa ottenete?
Beh, ad un certo punto un dilettante matematico scrisse ad uno dei matematici più importanti del tempo che aveva trovato questa curiosa soluzione.
Il matematico non lo mandò a raccogliere ortiche, ma lo invitò a discuterne nella sua università.

Era un folle? No. Quella somma ha senso, se si estende il concetto di somma infinita.

La cosa pazzesca è che questo risultato completamente folle è confermato sia dalla teoria delle stringhe, che dalla funzione zeta di Rieman (calcolata in -1/2).

Trovate un video assolutamente splendido qui:

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Troppo lungo il video, ma in effetti anche per me, come dice all’inizio del video, sembrerebbe più logico aspettarmi un numero grandissimo e soprattutto positivo!
Non -1/12.

P.S. @happycactus correggi che ti è scappato - 1/2 :wink:

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Accade ovviamente perché non è la somma algebrica, che è una serie divergente, ma una manipolazione dell’insieme.
Non amo i video, ma leggendo qualche spiegazione io trovo che qualcosa non mi torna

The Ramanujan Summation: 1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12? | by Mark Dodds | Cantor’s Paradise.

Ad esempio io direi che qui che 1-A=A+1 e non A (questione di numero di elementi pari e dispari degli insiemi). Ma chi sono io?

Interessante cmq, grazie @happycactus

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Adesso sono sul lago di Ledro, domani vi faccio il riassunto!

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Bellino, ci sono stato una volta. Non fosse che ha piovuto tutto il tempo …

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Anche noi abbiamo preso pioggia, ma tanto siamo venuti da Fiaré solo per completare il giro delle palafitte neolitiche, quindi andati diretti al museo (bellino ma niente di che, molto meglio quello di fiaré).

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Bel gioco. Mi è piaciuto questo:

ma di più la dimostrazione di come, giocando con numeri e regole note, ma ad minchiam, puoi ottenere quello che vuoi, anche un numero negativo per somme di numeri positivi crescenti ed infinite, la cui somma non può che essere infinto. Poi se positivo o negativo, dipende da cosa si somma dopo, ma se l’incipit è la via da seguire, perché mai si dovrebbero avere numeri negativi dopo la serie dei numeri postivi mostrati? Cioè, il compito non era quello di sommare i numeri naturali seguenti ai precedenti? Ho capito male le consegne?

l’indiano non è un genio, è un matto.

Oppure la riposta è 42, che è l’unico numero davvero buono.

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No, tutto sbagliato.
La riprova è che quella somma funziona, come accennato nel mio primo post, sia nella fisica (teoria delle stringhe) sia nella matematica stessa (come prolungamento razionale della funzione di Riemann calcolata in -1/2).

Il punto è un altro, ed è spiegato nel video linkato.

Lavorare con somme infinite è complicato. La somma infinita è un passaggio al limite. Non esiste è vero che se sommo “tutti” le frazioni del tipo 1/n^2, ottengo 2. Perché? perché, banalmente, non è possibile sommarle tutte.

la “somma” come serie è un passaggio al limite, un concetto matematico piuttosto complesso anche se viene insegnato nei licei. Complesso perché da una parte non è sperimentabile nella vita tangibile, dall’altro perché ha dei requisiti - non si può “sempre” passare al limite.

Detto questo, proprio perché la “serie” non è una semplice somma, si possono complicare un po’ le cose ed estenderla, l’importante è che questa estensione conservi quanto stabilito in precedenza.

La somma di Cesàro è l’estensione della somma come la intendiamo noi; si definisce come la successione delle medie delle somme parziali. Se ho la sequenza

1, 1/2, 1/4, 1/8, …

le somme parziali sono:

1, 3/2, 7/4, 15/8, …

e la media

1, 5/4, 17/12, 49/32, …

(spero di aver fatto i conti correttamente… )

Si dimostra che il limite tra la somma classica e la media delle somme parziali coincide quando la somma classica esiste ed è finita (quindi per le serie convergenti).

Per le serie DIVERGENTI, quelle cioè che non hanno un risultato finito, la somma di Cesàro potrebbe e potrebbe non avere un valore FINITO.

Se si estende ancora quel concetto di somma, facendo la media delle medie delle somme parziali, si ottiene un concetto di somma che ancora estende le precedenti. E’ la somma secondo Holder (credo, non viene nominata nel video).

Ancora: è una somma? sì, perché se prendi la somma convergente 1, 1/2, 1/4, 1/8… continua a dare 2. e no, perché la somma tradizionale per la sequenza 1, 2, 3, 4,… ma anche per 1, 1/2, 1/3, 1/4 … non converge, mentre con una opportuna estensione di questa somma, ritroviamo la somma di cui sopra.

No, non è un artificio. E’ che quella somma non è la somma tradizionale, anche se lo è per 1 + 1/2 + 1/4 + …

Per questo ho specificato “in una galassia lontana”, stiamo parlando di un’altra galassia che però contiene il nostro pianeta terra. E infatti per quella galassia, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … fa ancora 2

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Sì, come dicevo (male!) è una manipolazione dell’insieme somma (anche se si dovrebbe usare un simbolo diverso dal +, difatti in uno dei link non usa la sigma della sommatoria ma la zeta di Reimann) ossia della sequenza degli elementi.

Il secondo link che ho messo dà anche una sorta di soluzione grafica molto carina, anche se in realtà è completamente slegata dal calcolo della somma di Cesàro.

Bello

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Capisco, ma è la premessa che inganna:

“somma i numeri interi positivi uno all’altro” è un discorso che capisco, e che per me sicuramente non fa -1/12, semmai fa infinito.

“la successione delle medie delle somme parziali” è un altro, e non ho studiato i limiti e non comprendo il teorema di Cesàro, ma (come faccio spesso) di base mi fido che sia corretto e funzionante. Però, tra serie convergenti e serie divergenti sta l’inghippo: la serie dei numeri naturali da 1 a infinito è divergente positiva, non ci sono storie persino per un discalculico come me.

Dunque il “Si dimostra che il limite tra la somma classica e la media delle somme parziali coincide quando la somma classica esiste ed è finita (quindi per le serie convergenti)” non si applica a questo caso, e qui sta il trucco:

si sta usando un metodo di calcolo non applicabile, e dunque si ottiene un risultato farlocco - se non in una galassia lontana lontana, non so quanto, ma parecchio lontana.

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Ora basta solo che convinci le stringhe e la zeta di riemann che il loro valore è sbagliato.

Però, seriamente: l’indiano dal nome impossibile ha ottenuto i suoi risultati semplicemente estendendo le somme all’infinito e riordinando i termini .
Dunque, si può fare, e in quel caso li, estendendo all’infinito, si ottiene quel risultato li.
E quindi, chi ha ragione?

(Spoiler: entrambi).

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No, HC
L’indiano ha violato un paio di regole.

E te la dico tutta: non lo dico ad alta voce - sto sempre discalculico e semianalfabeta di ritorno, dunque sicuramente sbaglierò, però mi pare che non ci sia un vero accordo, lassù nell’empireo dei fisico/matematici/quantico/stringati/einsteiniani su come si debbano fare certi calcoli e cosa ne dovrebbe derivare. Però no, non possono avere ragione tutti dicendo cose diverse, minimo manca una premessa agli uni e/o agli altri, una cosa facile facile: di che stiamo parlando e in che contesto?

Perché se è il nostro, una somma di numeri interi e positivi non potrà mai essere pari ad un numero frazione di unità e per giunta negativo, non importa quanti numero interi, naturali, positivi (e sempre più grossi, questa era la premessa del compito) tu gli sommi. Semmai puoi dire che non arriverai ad un risultato finito, e -1/12 è un risultato finito, buono quanto lo è un qualsiasi numero scelto a caso, che puoi ottenere con qualche passaggio da oroscopo, senza nemmeno scomodare leggi matematiche che si applichino ad altro.

Sarebbe come dire che, scalando un monte (sulla terra, non nella periferia di Vega in un nastro di Mobius,) ad un certo punto ti ritrovi in fondo al mare, alla base dello stesso.
Se il contesto era il nastro di cui sopra tra parentesi e non l’hai detto, stai barando. E l’indiano ha barato, applicando calcoli non adeguati al caso in esame. E se la teoria delle stringhe ti dice che invece è giusto, vorrei sapere se anche lei s’è scordata qualche premessa. Tipo: “Giusto, ma non sulla Terra” o “Giusto, ma solo nel mondo dei quanti di Ant-Man”. Peccato che noi si viva qui e non in uno di quei due universi.

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Innanzitutto direi che hai perfettamente ragione per quanto riguarda la somma algebrica. Altri tipi di somme danno risultati differenti. Non invalidi ma differenti, perché sono essenzialmente una cosa diversa.

Altro punto, le somme divergenti per definizione vanno all’infinito. E fin qui ci siamo. Ma se non erro fu Cantor a definire vari tipi differenti di infinito e vari ordini. È una sorta di scelta arbitraria perché l’infinito è una idea astratta che ha simbolo astratto (il famoso nastro di Moebius, a forma di otto sdraiato ) che non ha esperienza nel mondo fisico - fino oggi.
Quindi si potrebbe in altri termini definire il tipo di infinito di quella particolare serie divergente con quel numero particolare, se vogliamo, anche se a tutti gli effetti è un altro risultato di un’altra classe di somma.

A casa da ragazzo avevamo un libro bello grosso, chiamato matematica dilettevole e curiosa Mio fratello lo capiva molto meglio di me, ma era pieno zeppo di dimostrazioni fallaci o incredibili (quelle errate in genere erano dovute a divisioni per zero nascoste) ma la.manipolazione delle serie era un modo come un altro per effettuare dei tipi di trasformata .
Per cui il il -1/12 andrebbe interpretato anche come trasformata della serie divergente.

Bastano come “obiezioni” @il_Babbano ?

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Beh, allora tengo ancora ragione io: 42 va bene tanto quanto -1/12, basta trovare la giusta classe di somme. Anzi, un po’ di più, perché almeno è un numero positivo. Sbagliato, ma positivo.

Solo un trucco (dove l’errore non è evidente ma c’è) può portarti a trovare come appartenente ad un insieme fatto di soli numeri naturali positivi un numero che di quell’insieme non fa parte. E’ un po’ come nel paradosso di Zenone, per cui Achille non poteva raggiungere la tartaruga perché questa sarebbe stata sempre una frazione - anche infinitesimale - di passo avanti a lui, cosa ovviamente non vera perché la somma di unità microscopiche in cui Zenone divideva le distanze non avrebbe aggiunto nulla alla distanza (decrescente ad ogni passo di Achille) tra Achille e la tartaruga.

Il concetto qui è uguale: sommi e trasformi e ottieni un qualcosa che non fa nemmeno parte dell’insieme, Da qualche parte hai violato qualche regola fondamentale. Tipo che hai calcolato qualcos’altro, in barba al fatto che non è vero che lo potevi fare in quel modo in queste circostanze.
(Mo’ vado a guardarmi questo Cantor che ora c’ho un vuoto di memoria)

edit
trovato. E’ quello che viene spacciato per aver avuto per primo un’idea che aveva avuto Russell prima di lui. A posto così. Ah no, è più vecchio Cantor. Russell è quello che ne metteva in crisi l’idea - ah che brutta cosa invecchiare.

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Eh no, questo va dimostrato e i vari matematici fino adesso non hanno violato nessuna regola. Quello accadeva in quei giochi dove c’erano dei paradossi, con la divisione implicita per zero, qui invece si opta per una trasformazione (come quella che trasforma gli integrali complessi in somme algebriche) senza volare nulla.
Puoi quindi ridefinire o meglio ampliare la definizione di somma che quindi è una cosa diversa da quella che ricordi e che ha un risultato, ancora valido, ma intellegibile (quindi non un simbolo privo di corrispettivo fisico) - solo trasformato. È quindi una sorta di forma finita dell’infinito, senza violazioni di sorta.
Tra l’altro se interessa, nel secondo link che ho messo sopra , c’è la rappresentazione grafica di -1/12 come (parte) area della funzione che calcola la sommatoria algebrica dei naturali

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Ho trovato questo:

a me va bene 42

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Babbano, ti sei intestardito che una cosa qualunque può andare ma in fondo non è esattamente così.
Allora, nella pratica, l’ho scritto sopra, c’è un problema. La somma di una serie infinita non la puoi trovare. E’ inutile che “intuitivamente” eccetera. No. Considera la funzione 1 \over x per la quale il limite è zero.

\lim_{x \to \infty} {1 \over x} = 0

Esiste un valore per cui vale zero? no. Non c’è. L’infinito non è un numero naturale, un qualcosa che puoi prima o poi raggiungere. Infatti la sua definizione è: “il valore L per cui quando scegli un M grande a piacere, esiste un \epsilon tale per cui |L-f(M)| \lt \epsilon” , ossia la funzione si avvicina sempre di più a tale valore, ma senza toccarlo mai.

E non avrebbe senso: non c’è un numero M tale per cui {1 \over M} = 0

Idem per le serie. Una serie infinita non è una somma. E’ una sequenza di somme parziali:

\sum_{n=0}^\infty x_n = lim_{n \to \infty} \sigma_n

in cui le \sigma_n sono le somme parziali: ad esempio, per f(n)={1 \over {n^2}}

abbiamo

{\sigma_1 = 1} ; {\sigma_2 = 1 + {1 \over 4} }; {\sigma_3 = 1 + {1 \over 4 } + { 1 \over 8}};

non ha somma, non troverai mai abbastanza frazioni del tipo {1 \over {n^2}} da sommare per arrivare a 2, quello però è il limite.

Quindi la somma in serie è una vera somma? No, nì. insomma.

E per la somma secondo Cesàro? Idem. Come ho spiegato sopra, se sommi secondo Cesàro 1 \over {n^2}, equivale alla stessa “somma” classica (passaggio al limite delle somme parziali), mentre se prendi dove la somma non converge (cioè nel caso di \sum_{n=1}^\infty {n^{-\alpha}}, per \alpha \ge 1), in certi casi può convergere. E dove converge? Niente, non ha a che vedere con il limite della somma parziale classica, ma appunto con la media.

Sembra arbitrario, ma non lo è affatto, perché appunto è una estensione. Significa che nei punti in cui si può applicare l’operazione iniziale (classica), ha lo stesso valore.

Formalizzandolo, se la funzione iniziale (o l’operazione che dir si voglia) ha significato solo in un certo insieme A, se la estendiamo all’insieme B di cui A è sottoinsieme (A \subset B), dobbiamo avere necessariamente f(x) = f^*(x) in tutti i punti x \in A \subset B.

E’ una estensione.

Sovente si scopre anche che se c’è un’estensione, essa è l’unica possibile (ma non so dire se è il caso delle somme alla Cesàro).

Io capisco lo smarrimento, ma è lo stesso dei greci con i numeri irrazionali. Anzi. Noi siamo abituati a pensare ai numeri Reali e soprattutti agli Irrazionali come qualcosa di “ovvio” ed “intuitivo”, ma i greci provavano probabilmente il nostro stesso scoramento davanti a queste “somme assurde”.

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Quella spiegazione confonde ancora una volta la somma algebrica con altri tipi di somme. 42 va benissimo, se mi trovi un tipo di somma adatta.

Per il valore riportato dall’indiano, invito a vedere il secondo link di cui qui una immagine

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Ha violato un paio di regole nel mondo dei nostri sensi. O sul nostro pianeta, se vuoi che giochiamo con l’analogia iniziale. Eppure è lo stesso principio per cui i greci non riuscivano a far quadrare il cerchio, e per cui pensavano che \sqrt 2 non esistesse.